呼吸子是一种能量局域化振荡的非线性波。与孤子类似，耗散系统中的呼吸子可以形成稳定的束缚态，表现出类似分子的动力学行为，通常被称为呼吸子分子。到目前为止，光学呼吸子分子的实验观测及其动力学实时检测仅限于双原子分子（两个呼吸子的束缚态）。在此，华东师范大学彭俊松研究员等人在超快光纤激光器中观察到了三种呼吸子分子复合物包括多呼吸子分子、两个呼吸子对（2+2）构成的复合物以及一个呼吸子对和单个呼吸子（2+1）构成的呼吸子分子复合物。这种呼吸子分子复合物的分子间的间距达到数百皮秒，比对应的孤子分子复合物高出一个数量级以上，表明其是长程相互作用。最近的理论研究表明，相距较远的呼吸子可以通过尾翼的色散波交换能量从而通过谐波同步束缚在一起，这正是呼吸子分子长程相互作用的内在机制。此外，研究人员还研究了呼吸子分子复合物的非平衡态动力学，包括呼吸子的非弹性碰撞和湮灭行为。最后，由Ginzburg-Landau方程描述的激光模型的数值模拟证实了实验现象。这项工作开启了以呼吸子为基本结构的多体动力学研究的可能性。该工作发表在Laser Photonics Rev.上。
孤子的概念是普遍的，可以应用于非线性科学的大多数分支中观察到的一大类孤立波传播现象，从流体动力学和生物学到等离子体物理和光子学。孤子的主要特点是传播时间长且没有明显的变化。在最初的理论研究中，孤子被认为是可积哈密顿系统，如一维非线性薛定谔方程，但最近，最初的概念被扩展到非线性耗散系统，其中，局域波包产生于色散或衍射与非线性（例如，孤子）以及增益与损耗之间的平衡。除了它们的形成外，它们之间的相互作用，如碰撞，甚至稳定束缚态的出现，都是目前激光物理中通过实时超快测量进行深入研究的课题。这种耗散的多孤子复合物又称孤子分子，是激光腔内自组织现象的结果，表现出类似于物质分子的动力学行为，如合成和振动。通过将一般的光谱学概念转移到耗散孤子的情形，实现了孤子分子在外界扰动下的共振激发和全光开关，从而扩展了类物质孤子分子的类比。由两个束缚孤子组成的孤子对是目前研究最多的多孤子结构，最近的一项研究表明，两个孤子对可以结合形成稳定的分子复合物。
除了传统孤子外，许多非线性系统支持具有周期振荡行为的呼吸耗散孤子。耗散呼吸子首次在无源克尔腔中得到证实，随后又在光学微谐振器中得到报道。耗散系统的平均动力学由复Ginzburg-Landau方程控制，也支持呼吸子解。被动锁模激光器是研究非线性耗散系统性质和动力学的合适平台，在这种情况下，激光振荡器产生强呼吸孤子的工作区的存在最近被理论预测。研究人员通过实时检测技术直接揭示了锁模光纤激光器中呼吸子的快速光谱和时间动力学。与传统非线性系统中的Akhmediev和Kuznetsov-Ma呼吸子类似，呼吸耗散孤子与Fermi–Pasta–Ulam共振有关，Fermi-Pasta-Ulam共振是非线性耦合振子周期性地返回其原始状态的一种反常演化。呼吸孤子不仅是非线性科学中的重要研究对象，而且由于其在光谱学等领域的潜在应用而受到广泛关注。
与超快激光中孤子分子动力学研究取得的重大进展相反，呼吸子束缚态的存在性研究较少。在非线性薛定谔方程描述的传统系统中，对呼吸子的模式研究最多，只有呼吸子碰撞和周期性呼吸子相互作用的报道。事实上，在这类系统中，重叠孤子脉冲不能形成强键，因为脉冲的有效相互作用势不是最小值。势能极小值只能由耗散效应引起，从而形成多脉冲束缚态。在锁模光纤激光器中对呼吸孤子对的观察方面，已有许多新的研究。值得一提的是，在锁模激光器中，除了呼吸分子的形成外，还对各种显著的耗散局域结构动力学进行了实验研究，包括孤子爆炸、呼吸爆炸和光怪波的产生。
呼吸子分子复合物的产生
产生呼吸子分子复合物的实验装置是一个具有正常路径平均腔色散的掺铒被动锁模光纤激光器，如图1所示。锁模依赖于非线性偏振演化技术，它通过包含两个光纤偏振控制器和一个偏振相关隔离器来实现，通过简单旋转环路来调节非线性传递函数，从而改变线性腔损耗以及实现脉冲间的相互作用。研究人员对激光输出信号进行了时域和频域实时分析。利用色散傅里叶变换方法，在镜头到镜头水平处获得亚纳米分辨率光谱测量。这种简单而有力的方法，如今是一种常用的工具，用于在超短时间尺度上获得光谱动力学，它将激光输出的光谱映射到实时示波器上直接读出的时间波形。这是通过在色散介质中拉伸激光输出脉冲，该色散介质累积足够大的群速度色散，以满足远场条件，从而使拉伸波形表示初始脉冲波形的光谱强度。通过实时测量一维强度的时间轨迹，然后，利用这些轨迹构造出激光的时域强度演化，后者揭示了快速时间和慢演化传播坐标的动力学，它被测量为若干空腔往返。
图1 激光和实时检测系统示意图。 WDM，波分复用器；PC，偏振控制器；PDI，偏振相关隔离器；SMF，单模光纤；EDF，掺铒光纤；DCF，色散补偿光纤。
当泵浦电流设置为44.9 mA 时，激光器工作在稳定的单脉冲锁模状态，其特点是类似孤子的脉冲整形。当泵浦电流增加到46 mA 时，自启动锁模伴随着每个腔往返产生多个脉冲。在狭窄的泵浦功率范围内存在稳定的单脉冲状态是因为腔长比大多数锁模光纤激光器的典型长度（<10 m）长。在实验中，泵浦电流固定在46 mA，通过偏振控制器的轻微旋转来调整腔损耗以产生各种呼吸复合物。此外，该激光器还可以维持两个、三个和四个束缚孤子状态。图2显示了呼吸子四重分子（“四原子分子”）的动力学。图2a中描绘的时空强度演变揭示了四个基本呼吸子强度的大周期性变化，周期为1000次往返。每个脉动周期内的峰值强度变化近一个数量级（图2b）。同时，脉冲持续时间也会发生变化而检测系统的时间分辨率（大约30 ps）不允许捕捉到这种变化。然而，当脉冲经历大呼吸时，这种技术可能难以实施。尽管周期性强度变化，脉冲时间间隔在连续的腔往返行程中几乎保持在 50 ps，表明脉冲之间有很强的结合。
脉冲时间强度的快速演化行为导致光谱的快速变化，这超出了传统光谱测量工具（例如，光谱分析仪）的速度。为此，研究人员采用实时色散傅里叶变换光谱监测来捕获脉冲四重分子在腔往返过程中的光谱演变。基于色散傅里叶变换的单点光谱测量，如图2c所示。该光谱具有孤子分子光谱中存在的典型干涉图案，光谱强度峰值之间的间隔与脉冲间隔在时间上相匹配。腔往返行程中的频谱演变是周期性的且频谱在每个周期内大幅变宽和变窄，加宽（压缩）自然发生在脉冲达到最高（最低）峰值强度的位置附近。光谱的最大宽度超过最小宽度八倍以上（图2d）。脉冲四重分子的能量（图2c中白色曲线）通过对整个波段的功率谱密度进行积分计算，在往返行程中与光谱宽度和脉冲时间强度同步演变。为了完成呼吸子四重分子的定量动态图像，研究人员使用基于色散傅里叶变换的光谱干涉法实时解析分子内的相对相位，该方法依赖于计算每个单次色散傅里叶变换光谱的傅立叶变换，现在是常用于传统孤子态。值得一提的是，将这种方法应用于激光腔中产生的呼吸子复合物是非常具有挑战性的，因为当呼吸子处于其强度最小值时，一阶单次自相关迹太弱。
图2 呼吸子四重分子的动力学。a） 强度相对于连续往返平均往返时间的时间演变。b） 振荡周期内最大和最小能量往返次数的时间强度分布。c） 单激发光谱的色散傅里叶变换记录。也显示了能量的演化（实心白线）。d） 一个周期内最大和最小光谱范围往返次数的单激发光谱。
图2所示的呼吸过程中的一个显著现象是，在点到点光谱中周期性地出现Kelly边带（图2d）。这些Kelly边带是时域中共振色散波的一种表现，从通常的角度来看，当孤子在一次往返中受到集中非线性损耗和各种内腔分量的扰动时，它们会从孤子中辐射出来。图2a中观察到的与呼吸子模式同步的低强度背景模式是由呼吸子模式辐射的缓慢衰减的色散波形成的，这是呼吸子模式长程相互作用的主要因素。这些色散波在数百个空腔周期内周期性发射，如图2所示，光谱的中心波长和Kelly边带的波长在腔往返中与脉冲能量同步振荡。这种波长振荡可归因于呼吸波和辐射色散波的交叉相位调制。从图2a可以看到，这个周期性的波长偏移反映为时域中脉冲位置的周期性偏移。在图2a伪彩色图中，单脉冲强度的脉动（例如，往返次数从300到900）伴随着正（向右）时间偏移而在强度最小值的持续时间内没有时间偏移。因此，在振荡周期内给定往返次数的脉冲相对于具有相同群速度的前一振荡周期内相同往返次数的脉冲出现时间偏移。值得注意的是，时间拉伸后的信号持续时间较长；例如，图2c中的波长范围对应于长度为25 ns的时间窗口。因此，脉冲时间位置从一个振荡周期到下一个振荡周期（图2a中为100 ps）的人为移动对色散傅里叶变换测量的影响可以忽略不计。由连续往返光纤色散引起的物理时间偏移的计算结果与在时空强度图中观察到的人工时间偏移一致。虽然克尔效应也能引起脉冲时间位置的变化，但这种影响很小，可以忽略不计。
在不同的偏振控制器设置下，研究人员观察到另一种类型的呼吸子复合物：由两个束缚呼吸子对组成的（2+2）呼吸子分子复合物。图3a所示的时空强度动力学揭示了两个特征时间尺度的存在，对应于每个呼吸对内的脉冲间隔和两个呼吸对之间的间隔。两个特征时间之间的比值约为1：7，表明这两个时间似乎与两种不同的强度有关。分子内脉冲分离与图2中的呼吸子四重分子几乎相同，但分子间分离达到350 ps，比稳定孤子分子复合物大一个数量级。通过偏振控制器的旋转，可以转向不同的（2+2）呼吸子分子复合物（图3b）。与前一种情况（图3a）相比，两个呼吸子的脉冲以不同的分子内时间间隔结合，表明呼吸子分子复合物可以具有不同的分子内分离。
通过调整线性腔损耗，研究人员还可以减少呼吸子的数量并实现一个稳定的呼吸子三元复合物。图3c中提供了一个示例，显示了呼吸子分子复合物的时空演化，该呼吸分子复合物由与单个呼吸子结合的呼吸对组成，其中，后者可以被视为单原子分子。尽管单个呼吸子与呼吸子对相距约500 ps，但其强度在腔往返过程中与呼吸子对同步演变，表明存在很强的分子间键。此外，研究人员还在激光中观察到单个呼吸对分子。
图3 各种呼吸子分子复合物的动力学。a) 具有相同分子内脉冲间隔的 (2+2) 呼吸子分子复合物，强度相对于4000次连续往返的平均往返时间的时间演变。b) 具有不同分子内分离的 (2+2) 呼吸分子复合物以及 c) (2+1) 呼吸子分子复合物
孤子相互作用是非线性动力学中最令人兴奋的研究领域之一。在传统的系统中，例如，限制在准维波导中的原子的玻色-爱因斯坦凝聚，孤子碰撞可能会导致湮灭，这取决于孤子之间的相对相位。孤子湮灭也发生在耗散系统中。在实验中，研究人员通过以固定泵功率旋转偏振控制器观察到不稳定呼吸分子复合物内的呼吸子碰撞和破坏，如图4所示。在图4a中，初始条件是呼吸子四重分子。呼吸子融合发生在往返次数为2500和3500处，然后，将两个产生的呼吸子中的每一个拆分为往返次数为5000的两个脉冲。随后，两个呼吸子对中的一个逐渐消失。
图4b显示了初始条件为呼吸子三元复合物时的三个碰撞事件。在所有情况下，该场景都类似于弹性碰撞的场景，因为两个碰撞呼吸子只是相互穿过，它们不受碰撞影响：它们不会合并，碰撞后它们的轨迹也不会改变。这与最近在被动光纤中观察到的非弹性呼吸子碰撞不同，后者代表了传统系统的一个例子。在这种情况下，实际上，两个呼吸子合并为一个峰值。同时，通过微调偏振控制器，研究人员可以在激光器中观察到呼吸子分子复合物的不同类型的非平衡动力学。例如，复合物中前翼和尾随呼吸子之间的时间间隔可能会在腔往返过程中单调增加或减少，可以将这种动态状态称为呼吸子分子复合物的热膨胀或收缩。
图4 呼吸子分子复合物的非平衡动力学示例。 a) 往返次数为5000左右的基本呼吸子的呼吸子分裂和湮灭。b) 三碰撞事件。碰撞后，微弱的呼吸子最终消失了。
数值模拟
基于耦合扩展非线性薛定谔方程并考虑交叉相位调制的影响，在激光运转矢量模型的框架内，研究人员解释了脉冲孤子光谱中心波长的周期性偏移以及光谱上出现宽Kelly边带的现象。理论上，重点是验证观察到的脉冲复合体的主要特征，即它们的周期性呼吸行为。为此，绕过了一个相当复杂的激光模型，研究人员采用主方程方法对激光进行了数值模拟，即采用三次-五次复Ginzburg-Landau方程。对于被动锁模光纤激光器，三次-五次复Ginzburg-Landau方程的形式为：
iψζ+(D/2)ψττ+|ψ|2ψ+v|ψ|4=iδψ+iε|ψ|2ψ+iβψττ+iμ|ψ|4ψ
其中，ζ是在腔中穿越的归一化传播距离，τ是延迟时间，ψ是场的归一化包络，D=-sgn(β2)，β2是路径平均腔色散，v对应于非线性折射率饱和。耗散项在等式的右侧，δ>0 (δ<0) 是净线性增益（损失）系数，带有ε的项表示非线性增益（例如，可饱和吸收），β>0表示光谱滤波而μ<0表示非线性增益的饱和。该方程是具有快速饱和吸收体的被动锁模激光器的最简单模型之一，可以描述各种复杂的非线性动力学，例如，孤子爆炸、光怪波、多脉冲、开关动力学和耗散孤子共振等。通过数值求解图5给出的参数集的复Ginzburg-Landau方程，研究人员发现了束缚脉冲四重分子的周期性呼吸动力学，定性地解释了图2中观察到的行为。此外，研究人员还通过数值方法发现了实验中产生的不同类型的呼吸子分子复合物（图3），如图6所示。
在可积系统中，耗散孤子的一个显著特性是能够形成稳定的多脉冲束缚态。光腔构成了研究多孤子相互作用的理想传播介质，因为即使是非常微弱的相互作用也可以通过几乎无限的传播时间显示出来。孤子对构成了中心孤子分子的情况，孤子分子可以存在于各种异构体中，大量的光孤子可以通过其长程相互作用的裁剪，自组装成大分子和孤子晶体，甚至形成高度有序的超分子结构。虽然呼吸子与传统孤子有本质的不同，但它们表现出相似的集体动力学。在光纤激光腔中，产生呼吸对的实验研究已有报道。这里的重点是进一步推动呼吸孤子和传统孤子在集体行为上的相似性，研究人员实现了被动锁模光纤激光器中不同类型呼吸子复合物的实验观察和实时动态特性，包括四原子分子和由两个双原子分子或一个双原子分子与一个单原子分子结合形成的分子复合物。此外，研究人员还观察到，当不稳定的分子复合物处于强度下降阶段时，呼吸子湮灭。由于呼吸耗散孤子是许多非线性物理系统的基本模式，研究人员观察到的呼吸动力学将激励对其他各种系统中呼吸子分子复合物的研究。
图5 呼吸子四重分子的模拟。为一组复Ginzburg-Landau方程参数（v = 2，δ= -0.01，β= 0.3，ε= 5，μ= -0.02）找到的a) 时间强度和 c) 光谱的演变。能量Q (ζ) = ∫ dτ|ψ(ζ,τ)|2的演化也显示。b) 振荡周期内最大和最小能量的代表性往返次数的时间强度分布。d) 最大和最小范围的对应光谱。
图6 各种呼吸子分子复合物的模拟。等分子内脉冲分离a）（2+2）呼吸子分子络合物时间强度的演化。b） 具有不同分子内分离的（2+2）呼吸分子复合物和c）呼吸分子复合物。复Ginzburg-Landau方程参数为(v = 2，δ= −0.23，β= 0.4，ε= 6，μ= -0.02）而图5所示的参数组用于图（b）和（c）所示的解决方案。
与稳定孤子情形类似，利用光子晶体光纤中的强光声效应在光纤激光器中组装光呼吸子的超分子结构是可能的。由于超快光纤中的局域波结构是在单模光纤中产生的，迄今为止，对它们的研究仅限于时域和频域。多模光纤系统中脉冲的产生和传输是近年来研究的热点。多模光纤激光器为相干光场的控制提供了一种新的自由度：空域。因此，可以预期光脉冲的时空工程将能够产生更复杂的呼吸子结构。
